La Parabola

Introducción:

Es el conjunto   de puntos que equidistan de una recta fija llamada DIRECTRIZ y de Punto fijo llamado FOCO.

Elementos:

    •Foco

             Es el punto fijo F.

           •Directriz

             Es la recta fija d.

           •Parámetro

            Es la distancia del foco a la directriz,

            designa por la letra p.       

           •Eje

           Es la recta perpendicular a la directriz  

           que pasa por el foco.    

           •Vértice

           Es el punto de intersección de la  

           parábola con su eje.

          •Radio vector

            Es un segmento que une un punto

                                                                           cualquiera de la parábola con el foco.

Fórmula de la Parábola:



Vertical:

Horizontal:

Ejemplo

 —1. Determinar en la siguiente ecuación:

Dato importante

 (X-h)  = 4p (y-k)   ------------>     Parábola Vertical

(Y-k)  = 4p (x-h)     ------------>     Parábola Horizontal

Ecuación de parábola cuyo centro es el punto (h;k):

    (x-5)  =24 (y-3) ----------------------------> Ecuacion Ordinaria

    X  - 10x + 25 = 24y – 72

    X  -10x -24y + 25 +72 = 0

    X -10x -24y + 97 = 0 -----------------> Ecuacion General

Del siguiente problema dar la ecuación ordinaria:

Ejemplo
 —Determinar el foco, el vértice y la directriz de la siguiente parábola:

Geometría Analítica

La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

PAR ORDENADO

Definición:Par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Ejemplo: (1, 2)

1: primera componente o ABSCISA.
2: segunda componente u ORDENADA.

Un par ordenado puede representar a un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, a un punto del plano en un diagrama cartesiano o bien a una razón.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Existen dos dimensiones:

Sistema Unidimensional: Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene:

Existen distancias dirigidas y no dirigidas.

Sistema Coordenados Bidimensional: Un punto en el plano se determina mediante P(x; y) 

Importante:

- El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares llamadas coordenadas.
-Recta Horizontal: Eje x (Abscisa)
-Recta Vertical: Eje y (Ordenada)
- Intersección de ambas rectas es el origen.
- El plano se divide en 4 cuadrantes.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia expresa la proximidad o lejanía entre el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos.

Fórmula para hallar la distancia:

Ejemplo 1:

Si P1 = (8, 6) y P2 = (5, 2) Calcular la distancia P1 P2.

Ejemplo 2:

¿Qué clase de triángulo se forma al unir los puntos A (-2,-1), B (2, 2) y C (5, -2)?

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si las coordenadas de A y B son (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, entonces el punto medio M del segmento AB tiene las coordenadas (x1 + x2/ 2, y1 + y2/ 2).

Fórmula:

Ejemplo 1:

Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.
Determine: Las coordenadas del punto medio M del segmento P1P2.

Ejemplo 2:

Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos.

DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Fórmula:

Ejemplo 1: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A (-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

CALCULO DE AREAS EN EL PLANO CARTESIANO

Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente formula:

Fórmula:

Ejemplo 1:

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: (-6;16);(16,6);(-10,4);(12,12);(20,-8).

Solución:

Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado (12,12) luego:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán:

I D

 Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto:

ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UN SEGMENTO

El ángulo de inclinación de un segmento, es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti -horario y considerando el eje X como lado inicial.

La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación.

Problemas:

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A (2; 1) y B (7; 2) (2; -2) y F (6;1) Determina si los siguientes puntos son colineales:

A(-3;6); B(3;2); C(9;-2) si

A(-1;3); B(3;11); C(5;12) n

Soluciones:

¿QUÉ ES LA RECTA?

Es el conjunto de todos los puntos del plano donde las coordenadas de cada punto obedecen a una relación de primer grado.

 


ECUACION DE LA RECTA

Forma punto pendiente:

Si la recta pasa por el punto P1 (X1;Y1) y cuya pendiente es “m” entonces la ecuación de la recta esta dada por:

Y – Y1=M(X- X1)

  

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

Si la recta L pasa por el punto P1 (X1;Y1) y P2 (X2;Y2) su ecuación es:

Ecuación general:

Se denomina ecuación general de la recta a la expresión. Ax+By+C=0

Donde A, B, C son números reales además A y B  no pueden ser simultanea a nulos.

a.   Si A=0 y B = entonces la recta es paralela al eje x.

b.   Si A =0 y B=0 entonces la recta es paralela al eje y

Por otro lado podemos establecer que:

a.   Su pendiente es m= -A/B

b.   Ordenada en el origen es b= -C/B 

Ejercicios:

RECTAS PERPENDICULARES

Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es:

·      Si: L1 I L2 => (ml1) (ml2) => -1
·      Dos rectas serán paralelas cuando tiene ecuaciones generales idénticas en los 2 puntos términos y solo cambia el término independiente.