Geometría Analítica

La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

PAR ORDENADO

Definición:Par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Ejemplo: (1, 2)

1: primera componente o ABSCISA.
2: segunda componente u ORDENADA.

Un par ordenado puede representar a un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, a un punto del plano en un diagrama cartesiano o bien a una razón.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Existen dos dimensiones:

Sistema Unidimensional: Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene:

Existen distancias dirigidas y no dirigidas.

Sistema Coordenados Bidimensional: Un punto en el plano se determina mediante P(x; y) 

Importante:

- El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares llamadas coordenadas.
-Recta Horizontal: Eje x (Abscisa)
-Recta Vertical: Eje y (Ordenada)
- Intersección de ambas rectas es el origen.
- El plano se divide en 4 cuadrantes.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia expresa la proximidad o lejanía entre el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos.

Fórmula para hallar la distancia:

Ejemplo 1:

Si P1 = (8, 6) y P2 = (5, 2) Calcular la distancia P1 P2.

Ejemplo 2:

¿Qué clase de triángulo se forma al unir los puntos A (-2,-1), B (2, 2) y C (5, -2)?

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si las coordenadas de A y B son (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, entonces el punto medio M del segmento AB tiene las coordenadas (x1 + x2/ 2, y1 + y2/ 2).

Fórmula:

Ejemplo 1:

Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.
Determine: Las coordenadas del punto medio M del segmento P1P2.

Ejemplo 2:

Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos.

DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Fórmula:

Ejemplo 1: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A (-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

CALCULO DE AREAS EN EL PLANO CARTESIANO

Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente formula:

Fórmula:

Ejemplo 1:

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: (-6;16);(16,6);(-10,4);(12,12);(20,-8).

Solución:

Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado (12,12) luego:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán:

I D

 Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto:

ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UN SEGMENTO

El ángulo de inclinación de un segmento, es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti -horario y considerando el eje X como lado inicial.

La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación.

Problemas:

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A (2; 1) y B (7; 2) (2; -2) y F (6;1) Determina si los siguientes puntos son colineales:

A(-3;6); B(3;2); C(9;-2) si

A(-1;3); B(3;11); C(5;12) n

Soluciones:

¿QUÉ ES LA RECTA?

Es el conjunto de todos los puntos del plano donde las coordenadas de cada punto obedecen a una relación de primer grado.

 


ECUACION DE LA RECTA

Forma punto pendiente:

Si la recta pasa por el punto P1 (X1;Y1) y cuya pendiente es “m” entonces la ecuación de la recta esta dada por:

Y – Y1=M(X- X1)

  

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

Si la recta L pasa por el punto P1 (X1;Y1) y P2 (X2;Y2) su ecuación es:

Ecuación general:

Se denomina ecuación general de la recta a la expresión. Ax+By+C=0

Donde A, B, C son números reales además A y B  no pueden ser simultanea a nulos.

a.   Si A=0 y B = entonces la recta es paralela al eje x.

b.   Si A =0 y B=0 entonces la recta es paralela al eje y

Por otro lado podemos establecer que:

a.   Su pendiente es m= -A/B

b.   Ordenada en el origen es b= -C/B 

Ejercicios:

RECTAS PERPENDICULARES

Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es:

·      Si: L1 I L2 => (ml1) (ml2) => -1
·      Dos rectas serán paralelas cuando tiene ecuaciones generales idénticas en los 2 puntos términos y solo cambia el término independiente.